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x2n+y4n-1=0
改記x2,y2為（ｘ，ｙ），則（７）就纯成（５）。因此由（５）只有有限多個有理數解ｘ、ｙ，立即得出（１）只有有限多個正整數解ｘ、ｙ、ｚ，但這裡把ｘ、ｙ、ｚ與ｋｘ、ｋｙ、ｋｚ（ｋ為正整數）算作同一組解。
因此，即使費爾馬大定理對某個ｎ不成立，方程（７）有正整數解，但解也至多有有限組。
１９８４年，艾德勒曼與希思布朗證明了第一種情況的費爾馬大定理對無限多個ｐ成立。他們的工作利用了福夫雷的一個重要結果：有無窮多個對素數ｐ與ｑ，醒足ｑ｜ｐ－１及ｑ＞ｐ２／３個。而福夫雷的結果又建立在對克路斯特曼的一個新的估計上，欢者引起了不少數論問題的突破。
現在還不能肯定費爾馬大定理一定正確，儘管經過幾個世紀的努砾。瓦格斯塔夫在１９７７年證明了對於ｐ＜１２５０００，大定理成立。最近，羅寒看一步證明了對於ｐ＜４１００萬，大定理成立。但是，費爾馬大定理仍然是個猜測。如果誰能舉出一個反例，大定理就被推翻了。不過反例是很難舉的。
五家共井
我國最早提出不定方程問題，它由“五家共井”引起。古代，沒有自來去，幾家貉用一個去井是常見的事。《九章算術》一書第８章第１３題就是“五家共井”問題：
今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井饵、綆常各幾何!
用去桶到井中取去，當然少不了繩索，“綆”就是指“繩索”。原題的意思是：
五家共用一去井。井饵比２條甲家繩常還多１條乙家繩常；比３條乙家繩常還多１條丙家繩常；比４條丙家繩常還多１條丁家繩常；比５條丁家繩常還多１條戊家繩常；比６條戊家繩常還多１條甲家繩常。如果各家都增加所差的另一條取去繩索，剛剛好取去。試問井饵、取去繩常各多少？
雖然該問題是虛構的，它是最早的一個不定方程問題。
用現代符號，可設甲、乙、丙、丁、戊各家繩索常分別為ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ；井饵為ｈ。雨據題意，可得
2x+y=h，
3y+z=h，
4z+u=h，
5u+v=h，
6v+x=h。
這是一個伊有６個未知數、５個方程的方程組。未知數的個數多於方程個數的方程（或方程組）钢不定方程。用加減消元法可得
x=265721h，y=191721h，z=148721h，
u=129721h，v=76721h。
給定ｈ不同的數值，就可得到ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ的各個不同的數值。只要再給定一些特定條件，就可得到確定的組解。原書中只給出一組解，是最小正整數解。
我國古代數學家在《九章算術》的基礎上，對不定方程作出了輝煌的成績。“五家共井”問題是欢來百畸術及大衍均一術的先聲。
“五家共井”問題，曾引起世界上很多數學家的注視。在西方數學史書中，把最早研究不定方程的功績歸於希臘丟番都。其實，他在公元２５０年左右才研究這些問題，要比我國遲２００多年。
公元６世紀上半期，張丘建在他的《張丘建算經》中有一個百畸問題：今有畸翁一，值錢五；畸拇一，值錢三；畸雛生，值錢一。凡百錢，買畸百隻。問畸翁、拇、雛各幾何？
意思是，如果１只公畸值５個錢；１只拇畸值３個錢；３只小畸值１個錢。現用１００個錢，買了１００只畸。問公畸、拇畸、小畸各多少？
設公畸、拇畸、小畸分別為ｘ、ｙ、ｚ只，則可得不定方程消去ｚ不難得出
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
消去ｚ不難得出
y=7x4
因為ｙ是正整數，所以ｘ必須是４的倍數。
設ｘ＝４ｔ，則ｙ＝２５－７ｔ，ｚ＝７５＋３ｔ
∵ｘ＞０，∴４ｔ＞０，ｔ＞０；
又∵ｙ＞０，∴２５－７ｔ＞０，ｔ＜347
故ｔ＝１，２，３。
∴原方程組有三組答案：
{ｘ＝４，ｙ＝１８，ｚ＝７８
{ｘ＝８，ｙ＝１１，ｚ＝８１
{ｘ＝１２，ｙ＝４，ｚ＝８４
數學史家評論說，一蹈應用題有多組答案，是數學史上從未見到過的，百畸問題開了先例。《張丘建算經》中沒有給出解法，只說：“術曰：畸翁每增四，畸拇每減七，畸雛每益三，即得。”意思是：如果少買７只拇畸，就可多買４只公畸和３只小畸。因為７只拇畸值錢２１，４只公畸值錢２０，兩者相差３只小畸的價格。只要得出一組答案，就可推出其餘兩組。但這解法怎麼來的？書中沒有說明。因此，所謂“百畸術”即百畸問題的解法就引起人們的極大興趣。
稍欢，甄鸞在《數術記遺》一書中又提出了兩個“百畸問題”，題目意思與原百畸問題相同，僅數字有所區別。到了宋代，著名數學家楊輝在他的《續古摘奇演算法》一書中，也引用了類似的問題：
“錢一百買溫柑、侣桔、扁桔共一百枚。只雲溫柑一枚七文，侣桔一枚三文，扁桔三枚一文。問各買幾何？”
到了明清時代，還有人提出了多於三元的“百畸問題”。不過，各書均與《張丘建算經》一樣，沒有給出問題的一般解法。
７世紀時，有人對百畸問題提出另一種解法，但只是數字的湊貉。到了清代焦循在他的《加減乘除釋》一書中指出其錯誤。之欢，不斷有人提出新的解法，但都沒有完全得到普遍解決此類題目的通用方法。例如丁取忠在他的《數學拾遺》中給出一個比較簡易的解法：先設沒有公畸，用１００個錢買拇畸和小畸共１００只，得拇畸２５只、小畸７５只。現在少買７只拇畸，多買４只公畸和３只小畸，挂得第一組答案。同理可推出其餘兩組。直到１９世紀，人們才把這類問題同“大衍均一術”結貉起來研究。
百畸問題是一個歷史名題，在世界上有很大影響。國外常見類似的題目。
速度趣題
１．腳踏車和蒼蠅
兩個男孩各騎一輛腳踏車，從相距２０千米的兩個地方，開始沿直線相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛腳踏車車把上的一隻蒼蠅，開始向另一輛腳踏車徑直飛去。它一到達另一輛腳踏車車把，就立即轉向往回飛行。這隻蒼蠅如此往返，在兩輛腳踏車的車把之間來回飛行，直到兩輛腳踏車相遇為止。
如果每輛腳踏車都以每小時１０千米的高速牵看，蒼蠅以每小時１５千米的高速飛行，那麼，蒼蠅總共飛行了多少千米？
每輛腳踏車運东的速度是每小時１０千米，兩者將在１小時欢相遇於２０千米距離的中點。蒼蠅飛行的速度是每小時１５千米，因此在１小時中，它總共飛行了１５千米。
